Quadratischer Gleichungslöser
Lösen Sie quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0. Ermitteln Sie die diskriminanten, reellen oder komplexen Wurzeln, den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse mit vollständigen Schritt-für-Schritt-Lösungen.
ax² + bx + c = 0
So lösen Sie eine quadratische Gleichung
- Geben Sie die Koeffizienten a, b und c für die Gleichung ax² + bx + c = 0 ein.
- Klicken Sie auf „Lösen“ – der Rechner berechnet die Diskriminante D = b² − 4ac.
- Lesen Sie die Wurzeln: zwei reelle Wurzeln, wenn D > 0, eine wiederholte Wurzel, wenn D = 0, oder komplexe Wurzeln, wenn D < 0.
- Sehen Sie sich die Schritt-für-Schritt-Lösung an, um jede Phase der Berechnung zu überprüfen.
Schnellreferenz
| Von | Nach |
|---|---|
| x² + 5x + 6 = 0 | x = −2, −3 |
| x² − 4 = 0 | x = 2, −2 |
| 2x² − 3x − 2 = 0 | x = 2, −0,5 |
| x² − 1 = 0 | x = 1, −1 |
| x² + 2x + 1 = 0 | x = −1 |
| x² − 5x + 6 = 0 | x = 2, 3 |
Anwendungsfälle
- •Algebra-Klasse – Lösen Sie x² + 5x + 6 = 0, um Wurzeln für eine Hausaufgabe zu finden.
- •Physik – Bestimmen Sie mithilfe einer Höhengleichung, wann ein Projektil den Boden trifft.
- •Ingenieurwesen – Finden Sie Gleichgewichtspunkte in Systemen, die durch quadratische Gleichungen modelliert werden.
Formel
Die quadratische Formel lautet x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Natur der Wurzeln: D > 0 ergibt zwei reelle Wurzeln, D = 0 ergibt eine wiederholte Wurzel, D < 0 ergibt zwei komplexe Wurzeln.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Diskriminante und was sagt sie uns?
Die Diskriminante D = b² − 4ac gibt die Art der Wurzeln der Gleichung an. Wenn D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn D = 0, gibt es genau eine reelle Wurzel (eine wiederholte Wurzel). Wenn D < 0, gibt es zwei komplex konjugierte Wurzeln.
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel y = ax² + bx + c. Seine Koordinaten sind (−b/(2a), f(−b/(2a))). Wenn a > 0 ist der Scheitelpunkt ein Minimum; wenn a < 0 ist es ein Maximum.
Kann eine quadratische Gleichung keine Lösungen haben?
Jede quadratische Gleichung hat genau zwei Wurzeln (zählende Multiplizität) in den komplexen Zahlen. Wenn die Diskriminante jedoch negativ ist, gibt es keine echten Lösungen, sondern nur komplexe.